Proportionnalité et pourcentages : fiches de révision de maths pour le brevet

Le test du « toujours le même nombre »

Le cours dit : « Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on passe des valeurs de l'une aux valeurs de l'autre en multipliant toujours par le même nombre. »

En clair : quand l'une double, l'autre double. Quand l'une triple, l'autre triple. Et si tu ne prends rien, tu ne paies rien.

À la pompe, ça marche

L'essence est à 1,80 € le litre. Pour 10 litres tu paies 18 €, pour 20 litres 36 €, pour 35 litres 63 €. Divise chaque prix par le nombre de litres : tu retombes à chaque fois sur 1,80. Le prix est proportionnel au volume.

Dans un taxi, ça ne marche plus

Un taxi facture 3 € de prise en charge, puis 2 € par kilomètre. Pour 5 km : 13 €. Pour 10 km : 23 €. La distance a doublé, pas le prix (le double de 13 serait 26). La faute aux 3 € du départ, que tu paies même sans rouler.

Le réflexe à garder : regarde ce qui se passe à zéro. S'il reste quelque chose à payer pour zéro kilomètre, ce n'est pas proportionnel.

Un grand mot pour « combien pour 1 ? »

Le cours dit : « Le coefficient de proportionnalité est le nombre par lequel on multiplie les valeurs de la première grandeur pour obtenir celles de la seconde. »

En clair : c'est ce que vaut une seule unité. Une place, un kilo, une heure. Une fois que tu l'as, tu peux tout calculer.

Quatre places de cinéma à 34 €

Tu cherches le prix d'une place : 34 ÷ 4 = 8,50 €. Voilà le coefficient.

• Pour 7 places : 7 × 8,50 = 59,50 €.
• Avec 51 € en poche : 51 ÷ 8,50 = 6 places.

On multiplie pour aller des places vers les euros, on divise pour revenir des euros vers les places.

Diviser dans le mauvais sens

Si tu calcules 4 ÷ 34, tu obtiens environ 0,12. Ce n'est pas faux, mais ça répond à une autre question : combien de place de cinéma on a pour 1 € (pas grand-chose). Avant de diviser, dis-toi à voix haute ce que tu cherches : « des euros par place ». Les euros vont en haut, les places en bas.

Trois nombres, et un trou

Le cours dit : « Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux. »

En clair : dès que tu connais trois valeurs sur quatre, la quatrième se calcule. Tu multiplies les deux nombres placés en diagonale, et tu divises par celui qui reste.

Des crêpes pour toute la classe

La recette demande 250 g de farine pour 12 crêpes. Tu en veux 30.

• 12 crêpes → 250 g
• 30 crêpes → ?

En diagonale, tu as 250 et 30. Il reste 12. Donc : 250 × 30 ÷ 12 = 625 g.

Vérifier sans calculatrice

30 crêpes, c'est deux fois et demie 12 crêpes. Deux fois et demie 250 g, ça fait bien 625 g. Si ton résultat avait été plus petit que 250, tu aurais su tout de suite qu'il y avait une erreur : plus de crêpes, c'est forcément plus de farine.

Les deux façons de se tromper

• Mélanger les lignes : les crêpes vont avec les crêpes, les grammes avec les grammes.
• L'utiliser quand ce n'est pas proportionnel. Un enfant de 4 ans mesure 1 m : à 12 ans, il ne mesurera pas 3 m.

Un seul nombre, trois costumes

Le cours dit : « Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est 100. »

En clair : 25 %, c'est 25/100. Et 25/100, si tu fais la division, ça donne 0,25. Et 0,25, c'est aussi un quart. Rien ne change sauf l'écriture.

Deux parts d'une pizza coupée en huit

Tu as mangé 2 parts sur 8, soit 2/8. En simplifiant : 1/4. En divisant : 2 ÷ 8 = 0,25. En pourcentage : 25 % de la pizza.

Comment changer d'écriture

• De la fraction au nombre à virgule : tu divises le haut par le bas. 3/5 donne 3 ÷ 5 = 0,6.
• Du nombre à virgule au pourcentage : tu décales la virgule de deux rangs vers la droite. 0,6 devient 60 %.
• Du pourcentage à la fraction : tu écris « sur 100 » et tu simplifies. 60 % = 60/100 = 3/5.

Ceux qu'il vaut mieux connaître par cœur

La moitié fait 50 %, le quart 25 %, les trois quarts 75 %, le cinquième 20 %, le dixième 10 %. Le tiers ne tombe pas juste : environ 33,3 %.

La virgule mal placée

5 % s'écrit 0,05 et non 0,5. Écrire 0,5, c'est dire 50 % : dix fois trop. En cas de doute, repasse par la fraction : 5 sur 100, donc 5 ÷ 100.

« Pour cent » veut dire « sur cent »

Le cours dit : « Prendre t % d'un nombre, c'est le multiplier par t/100. »

En clair : 30 %, c'est 30 parts sur 100, autrement dit 0,30. Prendre 30 % de quelque chose, c'est le multiplier par 0,30.

Un acompte sur une console

Une console coûte 80 €. Le magasin te demande 30 % tout de suite pour la réserver : 80 × 0,30 = 24 €.

De tête, en passant par 10 %

Pour prendre 10 %, tu divises par 10 : ici 8 €. Ensuite tu ajustes.

• 30 %, c'est trois fois 10 % : 3 × 8 = 24 €.
• 5 %, c'est la moitié de 10 % : 4 €.
• 50 %, c'est la moitié ; 25 %, c'est le quart.

Une astuce qui dépanne

30 % de 80 et 80 % de 30 donnent le même résultat : 24. Quand un calcul te paraît pénible, retourne-le. 4 % de 75 fait peur ; 75 % de 4, c'est les trois quarts de 4, donc 3.

La partie, divisée par le tout

Le cours dit : « Une proportion se calcule en divisant l'effectif de la partie par l'effectif total. »

En clair : tu prends le petit groupe, tu le divises par le groupe entier, et tu lis le résultat « sur cent ».

Les demi-pensionnaires d'une classe

Dans une classe de 30, 12 élèves mangent à la cantine. 12 ÷ 30 = 0,4. Et 0,4, c'est 40 centièmes : 40 % de la classe.

Se tromper de total

La classe compte 12 filles et 18 garçons. Si tu calcules 12 ÷ 18, tu trouves environ 0,67 : tu viens de comparer les filles aux garçons, pas à la classe. Le total, c'est tout le monde : 12 + 18 = 30.

À quoi ça sert, un pourcentage ?

À comparer des groupes de tailles différentes. Dans la classe d'à côté, 9 élèves sur 20 mangent à la cantine : 9 ÷ 20 = 0,45, soit 45 %. Ils sont moins nombreux (9 contre 12), mais ils représentent une plus grande part de leur classe.

Un tri, puis un second tri

Le cours dit : « Pour calculer une proportion d'une proportion, on multiplie les deux proportions. »

En clair : le second pourcentage ne concerne pas tout le monde, seulement ceux que le premier a déjà retenus. À chaque pourcentage, demande-toi : « de qui ? »

Le menu végétarien de la cantine

Un collège compte 600 élèves. 40 % mangent à la cantine, et 25 % de ceux-là prennent le menu végétarien.

• À la cantine : 600 × 0,40 = 240 élèves.
• Menu végétarien : 240 × 0,25 = 60 élèves.
• Sur tout le collège : 60 ÷ 600 = 0,10, soit 10 %.

En une ligne : 0,40 × 0,25 = 0,10.

Ni 65 %, ni 15 %

Additionner les deux pourcentages (65 %) ou les soustraire (15 %) n'a pas de sens : ils ne parlent pas du même groupe. L'un porte sur le collège, l'autre sur la cantine.

Quand l'énoncé ne donne aucun effectif

Exemple de question de brevet : dans un club, 60 % des adhérents sont mineurs et 30 % des mineurs font de la compétition. Quelle part des adhérents cela représente-t-il ?

Imagine un club de 100 personnes. Il y a 60 mineurs, et 30 % de 60 font de la compétition : 18. Donc 18 adhérents sur 100, soit 18 %. Tu retrouves 0,60 × 0,30 = 0,18.

La phrase qui fait peur

Le cours dit : « Augmenter une grandeur de t % revient à la multiplier par 1 + t/100. »

En clair : tu gardes tout ce que tu avais (100 %) et tu ajoutes 20 %. Tu te retrouves avec 120 % du départ, c'est-à-dire 1,2 fois le départ.

Sur un abonnement à 15 €

Ton abonnement augmente de 20 %. En une seule opération : 15 × 1,2 = 18 €.

Tu peux vérifier à la main : 20 % de 15, c'est 3 €, et 15 + 3 = 18 €.

+20 % puis −20 % ne ramène pas à 15 €

Si le prix rebaisse ensuite de 20 %, on calcule sur 18 €, plus sur 15 € : 18 × 0,8 = 14,40 €. Les deux pourcentages ne s'annulent pas, parce qu'ils ne portent pas sur le même montant.

Ce qu'on enlève, et ce qui reste

Le cours dit : « Diminuer une grandeur de t % revient à la multiplier par 1 − t/100. »

En clair : on t'enlève 30 % du prix, il t'en reste donc 70 % à payer. Et 70 %, c'est 0,7.

Des baskets à 90 €

Avec −30 % : 90 × 0,7 = 63 €. Tu obtiens directement le prix à la caisse.

0,3 ou 0,7 ?

L'erreur la plus fréquente est de multiplier par 0,3. Tu trouves alors 27 € : c'est le montant de la remise, pas le prix. Pose-toi la question avant de calculer : « est-ce que je cherche ce que j'économise, ou ce que je paie ? »

Deux remises ne s'additionnent pas

Le magasin annonce « −20 % supplémentaires sur les articles déjà soldés ». Ça ne fait pas −50 %. La seconde remise s'applique aux 63 € : 63 × 0,8 = 50,40 €. À −50 %, tu aurais payé 45 €. Au total, tu as eu −44 %.

Faire le chemin à l'envers

Le cours dit : « Pour retrouver la valeur initiale, on divise la valeur finale par le coefficient multiplicateur. »

En clair : la remise a multiplié le prix par un nombre. Pour revenir en arrière, tu divises par ce même nombre.

Un casque audio à 56 €, déjà soldé à −30 %

Une remise de 30 %, c'est une multiplication par 0,7. On a donc : ancien prix × 0,7 = 56. D'où : ancien prix = 56 ÷ 0,7 = 80 €.

Contrôle : 80 × 0,7 = 56. C'est bon.

L'erreur que presque tout le monde fait

Rajouter 30 % au prix soldé : 56 × 1,3 = 72,80 €. Raté de plus de 7 €.

Pourquoi ? Les 30 % de remise avaient été pris sur 80 €, soit 24 €. Si tu reprends 30 % de 56 €, tu n'obtiens que 16,80 € : le pourcentage est le même, mais il s'applique à une somme plus petite.

Le jour du brevet : pour remonter le temps, on divise par le coefficient. On ne refait jamais le pourcentage dans l'autre sens.

HT, TTC : deux prix pour un même objet

Le cours dit : « Le prix toutes taxes comprises s'obtient en ajoutant au prix hors taxes le montant de la TVA. »

En clair : le prix hors taxes (HT) est ce que garde le vendeur. La TVA est une taxe que l'État ajoute par-dessus. Le prix TTC est ce que tu paies vraiment. En France, le taux le plus courant est de 20 %.

Une réparation de vélo à 50 € HT

Ajouter 20 %, c'est multiplier par 1,2 : 50 × 1,2 = 60 € TTC. La TVA représente 10 €.

Un téléphone affiché 240 € TTC

Quel est son prix hors taxes ? On cherche le nombre qui, multiplié par 1,2, donne 240 : 240 ÷ 1,2 = 200 € HT. La TVA est donc de 40 €.

« J'enlève 20 % et c'est réglé »

Non : 20 % de 240 €, c'est 48 €, et tu trouverais 192 € au lieu de 200 €. La TVA vaut 20 % du prix hors taxes, pas 20 % du prix affiché.

D'ailleurs, sur ce téléphone, les 40 € de TVA ne pèsent qu'un sixième du prix payé, environ 16,7 %. Même taxe, mais pas le même pourcentage selon le prix auquel on la compare.

L'écart, comparé au point de départ

Le cours dit : « Le taux d'évolution est égal à la différence entre la valeur d'arrivée et la valeur de départ, divisée par la valeur de départ. »

En clair : tu regardes de combien ça a bougé, puis tu te demandes ce que ce changement représente par rapport à ce qu'il y avait au début.

Un forfait qui passe de 40 € à 50 €

L'écart est de 10 €. Par rapport aux 40 € du départ : 10 ÷ 40 = 0,25. Le forfait a augmenté de 25 %.

Le même écart, vu dans l'autre sens

Un an plus tard, le forfait redescend de 50 € à 40 €. L'écart est toujours de 10 €, mais on part cette fois de 50 € : 10 ÷ 50 = 0,2. La baisse est de 20 %.

Même écart, deux pourcentages différents. Tout dépend d'où l'on part, et c'est pour ça qu'on divise toujours par la valeur de départ, jamais par celle d'arrivée.

L'autre méthode, plus rapide

Divise directement l'arrivée par le départ : 50 ÷ 40 = 1,25. Tu reconnais le coefficient d'une hausse de 25 %. Si tu trouves un nombre plus petit que 1, c'est une baisse : 0,8 veut dire −20 %.

Une échelle, c'est un « fois combien »

Le cours dit : « L'échelle d'un plan est le coefficient de proportionnalité entre les distances sur le plan et les distances réelles, exprimées dans la même unité. »

En clair : 1/25 000 veut dire que la réalité est 25 000 fois plus grande que le dessin. 1 cm sur la carte, c'est 25 000 cm sur le terrain, c'est-à-dire 250 m.

Une randonnée de 6 cm

Sur la carte, le sentier mesure 6 cm. En vrai : 6 × 25 000 = 150 000 cm. On convertit : 1 500 m, soit 1,5 km.

Dans l'autre sens

Le refuge est à 4 km. Combien sur la carte ? D'abord tout mettre en centimètres : 4 km = 400 000 cm. Puis diviser : 400 000 ÷ 25 000 = 16 cm.

Là où partent les points

Presque jamais dans la multiplication, presque toujours dans la conversion. Deux repères suffisent :

• de centimètres à mètres, on divise par 100 ;
• de centimètres à kilomètres, on divise par 100 000.

Et relis ton résultat avec bon sens : une randonnée de 150 km ou de 15 m, ce n'est pas une randonnée.

Une règle, trois vitesses

Le cours dit : « Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, les longueurs sont multipliées par k, les aires par k² et les volumes par k³. »

En clair : une longueur n'a qu'une dimension, elle grandit une fois. Une surface en a deux (longueur et largeur), elle grandit deux fois de suite. Un volume en a trois, il grandit trois fois de suite.

Une photo agrandie trois fois

Une photo de 10 cm sur 15 cm devient un poster de 30 cm sur 45 cm. Les côtés ont été multipliés par 3. Mais l'aire passe de 150 cm² à 1 350 cm² : elle a été multipliée par 9, c'est-à-dire 3 × 3.

Un pot deux fois plus grand

Un pot de 200 mL est remplacé par un pot de même forme, deux fois plus haut, deux fois plus large et deux fois plus profond. Il ne contient pas 400 mL, mais 200 × 2 × 2 × 2 = 1 600 mL, soit 1,6 litre.

Dans le sens de la réduction

Exemple de question de brevet : une pyramide a un volume de 240 cm³. On en fabrique une réduction de rapport 1/2. Quel est son volume ?

Le volume est multiplié par 1/2 trois fois de suite, donc divisé par 8 : 240 ÷ 8 = 30 cm³. Répondre 120 cm³ est l'erreur attendue par le correcteur.

La pizza qui le prouve

Une pizza de 40 cm de diamètre n'est pas deux fois plus grosse qu'une pizza de 20 cm : elle est quatre fois plus grande. Avant de comparer les prix, compare les surfaces.

Un partage qui n'est pas moitié-moitié

Le cours dit : « Deux nombres a et b sont dans le ratio 3:5 si a/3 = b/5. »

En clair : on découpe le tout en parts de même taille. Le premier en reçoit 3, le second 5. Ça se lit « 3 pour 5 ».

Deux amis, 40 € à se répartir

Lina a travaillé 3 heures, Tom 5 heures. Ils partagent 40 € dans le ratio 3:5.

• Nombre de parts : 3 + 5 = 8.
• Valeur d'une part : 40 ÷ 8 = 5 €.
• Lina : 3 × 5 = 15 €. Tom : 5 × 5 = 25 €.

On vérifie que rien ne s'est perdu : 15 + 25 = 40.

Le ratio des bouteilles de sirop

« 1 volume de sirop pour 7 volumes d'eau », c'est un ratio 1:7, donc 8 parts. Pour une carafe de 2 litres (2 000 mL) : une part vaut 250 mL. Il faut 250 mL de sirop et 1 750 mL d'eau.

3:5 ne veut pas dire « les trois cinquièmes »

Dans le ratio 3:5, Lina ne reçoit pas 3/5 de la somme mais 3 parts sur 8. Le réflexe à avoir avant tout calcul : additionner les deux nombres du ratio pour connaître le nombre total de parts.

Ce que la formule raconte

Le cours dit : « Une situation de proportionnalité se modélise par une fonction linéaire, de la forme f(x) = ax. Sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine du repère. »

En clair : le nombre a, c'est le prix pour un seul. La fonction se contente de multiplier par ce prix. Et comme rien ne coûte rien, la droite démarre au point zéro.

Des pommes à 2,50 € le kilo

La fonction s'écrit f(x) = 2,5x, où x est le nombre de kilos.

• 0 kg → 0 €
• 2 kg → 5 €
• 4 kg → 10 €

Place ces trois points dans un repère : ils sont alignés, et le premier est l'origine. Chaque kilo de plus fait monter la droite de 2,50 €, toujours du même cran.

Une droite ne suffit pas

Une salle d'escalade fait payer 5 € d'entrée, puis 2 € par heure. Les points (0 h ; 5 €), (1 h ; 7 €), (2 h ; 9 €) sont alignés eux aussi. Mais la droite part de 5, pas de 0 : ce n'est pas une situation de proportionnalité.

Il faut donc deux conditions à la fois : des points alignés et une droite qui passe par l'origine. Au brevet, quand on te demande de justifier, cite les deux.